Congruencias modulares
Resuelve una congruencia lineal ax≡b (mod m) cuando existe solución.
Congruencias modulares: magnitud y alcance
Resuelve una congruencia lineal ax≡b (mod m) cuando existe solución.
La congruencia ax≡b mod m pide residuos x para los que ax−b es múltiplo de m.
Cuando g=mcd(a,m)>1 divide b, hay g soluciones distintas módulo m y una clase reducida módulo m/g. Reducir a/g, b/g y m/g evita buscar como si el coeficiente tuviera inverso donde no lo tiene.
Fórmula ax≡b (mod m).
Existe solución exactamente cuando mcd(a,m) divide b; si el mcd es g, las soluciones se describen en un módulo reducido m/g.
Campos visibles: Coeficientes a b y módulo m. ax≡b (mod m).
Ejemplo numérico: Solución mínima = 4
Coeficientes a b y módulo m: «3 2 5».
Para 3x≡2 mod 5, x=4 porque 12−2=10 es múltiplo de 5.
Resultado completo: Solución mínima = 4; Módulo = 5.
Si a=0, la congruencia se reduce a 0≡b mod m: todos los residuos son solución cuando m divide b y ninguno en caso contrario. Esa situación no se trata como una división ordinaria por a. Para a no coprimo, cancelar factores solo es válido si también dividen b y el módulo se reduce de forma coherente.
Lectura matemática de Solución mínima, Módulo
El representante mínimo no negativo identifica una clase completa: 4,9,14 y demás valores congruentes son equivalentes módulo 5.
En el ejemplo g=1, por lo que 3 tiene inverso 2 módulo 5; multiplicar 2·2 da x≡4. Esta vía coincide con probar residuos.
Restricciones propias de congruencias modulares
a,b,m deben ser enteros y m positivo. No encontrar solución es un resultado matemático válido, no un fallo de redondeo.
Un representante negativo puede normalizarse sumando m hasta quedar entre 0 y m−1. La normalización cambia la escritura, no la clase de equivalencia.
Fuentes y referencias
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Preguntas frecuentes
¿Qué advertencia debe acompañar a solución mínima, Módulo?
El módulo debe ser entero positivo.
¿Qué representan los controles «Coeficientes a b y módulo m»?
Se busca una solución en residuos de 0 a m−1. Cada valor ocupa la posición indicada por la fórmula ax≡b (mod m).
¿Cómo se llega a Solución mínima = 4?
Con Coeficientes a b y módulo m: «3 2 5», se sustituyen las magnitudes en ax≡b (mod m). El cálculo da Solución mínima = 4; Módulo = 5.
¿Qué entradas quedan fuera del dominio de congruencias modulares?
Se busca una solución en residuos de 0 a m−1. Puede no existir solución si el mcd de a y m no divide b. El módulo debe ser entero positivo.
¿Cómo debe leerse la salida de congruencias modulares?
Puede no existir solución si el mcd de a y m no divide b.
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