Ajuste polinómico por mínimos cuadrados
Ajusta una curva polinómica de grado elegido a pares de datos.
Ajuste polinómico por mínimos cuadrados: magnitud y alcance
Ajusta una curva polinómica de grado elegido a pares de datos.
El ajuste elige coeficientes que minimizan la suma de residuos cuadrados; a diferencia de la interpolación, no tiene que atravesar cada punto.
Las ecuaciones normales relacionan la matriz de potencias de x con los valores y. En grado 1 equivalen a imponer que la suma de residuos y la suma de x por residuo sean cero.
Fórmula min Σ(yᵢ−P(xᵢ))².
El selector de grado controla cuántas potencias de x entran en P(x). Grado 1 produce intercepto y pendiente; grados mayores añaden curvatura.
Campos visibles: Pares x,y separados por ; Grado del polinomio. min Σ(yᵢ−P(xᵢ))².
Ejemplo numérico: Pendiente lineal = 1.5
Pares x,y separados por punto y coma (;): «1,2;2,4;3,5»; Grado del polinomio: «1».
Para (1,2),(2,4),(3,5) y grado 1, P(x)=0.6666666667+1.5x.
Resultado completo: Pendiente lineal = 1.5; Intercepto = 0.6666666667.
Lectura matemática de Pendiente lineal, Intercepto
Subir el grado siempre puede reducir el error de entrenamiento, pero también puede sobreajustar y volver inestables las predicciones.
La recta del ejemplo predice 2.1667, 3.6667 y 5.1667; los residuos −0.1667, 0.3333 y −0.1667 equilibran esas condiciones. No se fuerza ningún residuo a cero.
Restricciones propias de ajuste polinómico por mínimos cuadrados
El grado máximo es 10, se admiten hasta 500 puntos y debe haber información suficiente para estimar los coeficientes sin un sistema singular.
Escalas de x muy grandes o grados altos empeoran el condicionamiento. Centrar o normalizar x puede mejorar estabilidad sin cambiar el conjunto de polinomios representable al transformar después los coeficientes.
Fuentes y referencias
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Preguntas frecuentes
¿Qué supuesto impide extender este resultado a otro caso?
Los residuos y el rango de datos deben revisarse antes de extrapolar.
¿Qué representan los controles «Pares x,y separados por punto y coma (;); Grado del polinomio»?
El grado es editable: el grado 1 devuelve pendiente e intercepto y los grados superiores devuelven cada coeficiente. Cada valor ocupa la posición indicada por la fórmula min Σ(yᵢ−P(xᵢ))².
¿Cómo se llega a Pendiente lineal = 1.5?
Con Pares x,y separados por punto y coma (;): «1,2;2,4;3,5»; Grado del polinomio: «1», se sustituyen las magnitudes en min Σ(yᵢ−P(xᵢ))². El cálculo da Pendiente lineal = 1.5; Intercepto = 0.6666666667.
¿Qué entradas quedan fuera del dominio de ajuste polinómico por mínimos cuadrados?
El grado debe estar entre 1 y 10 y ser menor que el número de puntos. La entrada admite hasta 500 puntos con abscisas que permitan resolver el sistema. Los residuos y el rango de datos deben revisarse antes de extrapolar.
¿Qué indica el resultado dentro de este modelo?
El número de puntos debe superar el grado elegido.
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