Diagonal de un cubo
Calcula la diagonal espacial de un cubo a partir de la longitud de su arista.
Segmento entre vértices opuestos
La diagonal espacial de un cubo une dos vértices opuestos atravesando el interior. Si la arista mide a, su longitud es d=a√3. No es la diagonal de una cara, que permanece en un plano y mide a√2.
Deducción con Pitágoras
Primero, una cara cuadrada tiene diagonal √(a²+a²)=a√2. Esa diagonal y la tercera arista forman un triángulo rectángulo, de modo que d=√((a√2)²+a²)=√(3a²)=a√3 para a positiva.
Ejemplo con arista cuatro
Para a=4, d=4√3≈6,9282 unidades. La diagonal de cara sería 4√2≈5,6569, un valor menor. Comparar ambas cifras ayuda a comprobar que se eligió el segmento tridimensional pedido.
Escala y conversión
La relación es lineal: duplicar la arista duplica la diagonal. La salida conserva la unidad de a porque √3 no tiene dimensión. Si introduces centímetros, la diagonal también queda en centímetros y no en una unidad cuadrada.
Condiciones del sólido
Las tres dimensiones deben ser iguales y las caras perpendiculares. Para una caja rectangular con largo, ancho y alto distintos se usa √(l²+w²+h²). El formulario exige una arista positiva y no calcula área o volumen.
Comprobar si una pieza cabe
La diagonal espacial es la mayor distancia recta entre dos puntos del cubo, pero no basta para decidir si un objeto rígido atraviesa una abertura. Orientación, forma y dimensiones de la sección también importan. En sentido inverso, un cubo con diagonal máxima d tiene arista d/√3. Si el valor procede de una tolerancia física, conserva las mismas unidades y aplica el margen fuera de la fórmula; redondear la arista antes de multiplicar puede ocultar una pequeña superación.
Relación con diagonal de cara
La diagonal de una cara es a√2 y la espacial a√3. Para a=5, la primera mide aproximadamente 7.0711 y la segunda 8.6603; usar √2 deja fuera la tercera dimensión.
Fuentes y referencias
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Preguntas frecuentes
¿Cuál es la diferencia entre diagonal de cara y espacial?
La primera cruza un cuadrado y mide a√2; la espacial atraviesa el cubo y mide a√3.
¿Por qué se suman tres cuadrados?
El desplazamiento entre vértices opuestos mide a en cada uno de los tres ejes perpendiculares.
¿Qué unidad tiene la diagonal?
La misma unidad lineal que la arista, porque el factor √3 es un número sin unidad.
¿Sirve la fórmula para un ortoedro?
Solo si sus tres aristas son iguales. En caso contrario usa la raíz de la suma de los tres cuadrados diferentes.
¿Cómo despejo la arista desde la diagonal?
Divide la diagonal espacial por √3. Esa operación inversa no requiere área ni volumen.
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