Distancia de un punto a una recta
Calcula la distancia perpendicular entre un punto y una recta ax+by+c=0.
Recta implícita y punto
La entrada contiene a, b y c para la recta ax+by+c=0, seguidos de las coordenadas x₀ e y₀ del punto. La salida es la distancia perpendicular mínima desde ese punto hasta cualquiera de los puntos de la recta.
Fórmula normalizada
La distancia es d=|ax₀+by₀+c|/√(a²+b²). El numerador evalúa en qué lado y a qué escala algebraica queda el punto. El denominador normaliza por la longitud del vector normal (a,b), evitando que una ecuación multiplicada cambie la distancia.
Ejemplo con distancia dos
Para la recta 3x+4y−10=0 y el punto (0,0), el numerador es |−10|=10 y el denominador √25=5. Por tanto, d=2 unidades. El punto (2,1) daría cero porque satisface exactamente la ecuación.
Coeficientes equivalentes
Multiplicar a, b y c por el mismo factor no cambia la recta. La fórmula tampoco cambia porque numerador y denominador absorben el valor absoluto de ese factor. Si alteras solo un coeficiente, en cambio, defines otra recta.
Caso inválido a=b=0
Al menos uno de a o b debe ser distinto de cero. Si ambos valen cero, la expresión c=0 no define una recta única y √(a²+b²) también sería cero. El motor detiene el cálculo en ese caso.
Unidades y signo
Las coordenadas y el término c deben ser coherentes con la escala elegida para la ecuación. El valor absoluto hace que la distancia sea no negativa y elimina información sobre el lado de la recta. Para una distancia con signo se requiere declarar una orientación del vector normal.
Pie de la perpendicular
La salida da solo la longitud. Si necesitas el punto más cercano sobre la recta, debes proyectar (x₀,y₀) en la dirección normal (a,b). Esa proyección permite además verificar que el segmento desde el punto original sea perpendicular a la recta y que su longitud coincida con d.
Invariancia de la ecuación de recta
Multiplicar a, b y c por el mismo factor no cambia la recta ni la distancia, porque numerador y denominador se escalan por su valor absoluto. Esta propiedad permite simplificar coeficientes antes de calcular.
Fuentes y referencias
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Preguntas frecuentes
¿En qué orden se escriben los cinco valores?
a, b, c, x₀ e y₀, primero la recta implícita y después el punto.
¿Por qué se divide por √(a²+b²)?
Para normalizar el vector perpendicular y obtener una longitud independiente de la escala de la ecuación.
¿Qué significa una salida cero?
Que el punto satisface ax₀+by₀+c=0 y, por tanto, está situado sobre la recta.
¿Puede la distancia ser negativa?
No en esta herramienta. El numerador usa valor absoluto y la salida es una longitud.
¿Acepta una recta escrita como y=mx+n?
Convierte antes a mx−y+n=0, por lo que a=m, b=−1 y c=n.
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