Distancia en tres dimensiones
Calcula la distancia euclídea entre dos puntos con coordenadas x,y,z.
Distancia euclídea entre dos puntos
Para P₁=(x₁,y₁,z₁) y P₂=(x₂,y₂,z₂), la distancia es d=√((x₂−x₁)²+(y₂−y₁)²+(z₂−z₁)²). Se calculan las tres diferencias, se elevan al cuadrado y se obtiene la raíz de su suma.
Ejemplo que forma un triángulo 3-4-5
Entre (1,2,3) y (4,6,3), las diferencias son 3, 4 y 0. La distancia vale √(9+16)=5 unidades. Que z no cambie reduce este caso a una distancia plana y permite verificar fácilmente el resultado.
Orden y signo de las diferencias
Intercambiar los puntos cambia el signo de cada resta, pero sus cuadrados permanecen iguales. Por eso la distancia no tiene dirección y nunca es negativa. Si necesitas el vector desplazamiento, conserva las tres diferencias sin elevarlas al cuadrado.
Coordenadas en la misma escala
Los seis valores deben pertenecer al mismo sistema cartesiano y usar unidades compatibles. No combines x e y en metros con z en centímetros sin convertir. La respuesta adopta la unidad común de las coordenadas, porque la raíz devuelve una longitud.
Alcance de la métrica
La fórmula describe espacio euclídeo con ejes ortogonales. No calcula distancia sobre la superficie terrestre, rutas con obstáculos o coordenadas angulares. Dos puntos iguales dan cero, un resultado válido aunque cada coordenada individual no sea cero.
Traslaciones y rotaciones del sistema
La distancia euclídea no cambia si sumas el mismo desplazamiento a ambos puntos. Tampoco cambia al rotar juntos los ejes con una transformación ortogonal. Estas propiedades permiten elegir un origen cómodo sin alterar la separación. Sí cambia si cada eje usa una escala distinta o si las coordenadas pertenecen a marcos no alineados. En mediciones 3D, transforma primero ambos puntos al mismo sistema de referencia y solo entonces aplica la raíz de la suma de cuadrados.
Proyecciones como control
La distancia 3D nunca puede ser menor que la distancia proyectada sobre un eje o plano. En el ejemplo, las proyecciones miden 2, 3, 6 y √13; todas quedan por debajo de 7.
Fuentes y referencias
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Preguntas frecuentes
¿Por qué el orden de los puntos no cambia la distancia?
Cada diferencia cambia de signo, pero al elevarla al cuadrado produce el mismo valor.
¿Qué ocurre si solo cambia una coordenada?
La distancia es el valor absoluto de esa única diferencia, porque los otros dos términos son cero.
¿Puedo introducir latitud y longitud?
No directamente. Son ángulos sobre una superficie curva y requieren una fórmula geodésica, no distancia cartesiana 3D.
¿Qué representa una distancia cero?
Que las tres coordenadas del primer punto coinciden con las del segundo.
¿La salida incluye la dirección del desplazamiento?
No. Entrega el módulo escalar. Para dirección necesitas el vector (x₂−x₁,y₂−y₁,z₂−z₁).
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