Distribución binomial
Calcula probabilidades exactas y acumuladas de éxitos en ensayos independientes.
Distribución binomial: magnitud y alcance
Calcula probabilidades exactas y acumuladas de éxitos en ensayos independientes.
La binomial cuenta k éxitos en n ensayos con dos resultados, independencia y una probabilidad p constante. C(n,k) cuenta las posiciones posibles de esos éxitos.
La simetría del ejemplo p=0.5 hace que P(X≤5) supere 0.5 exactamente por la mitad de P(X=5). Para p distinto de 0.5 la distribución se sesga y esa relación deja de cumplirse.
Fórmula P(X=k)=C(n,k)pᵏ(1−p)ⁿ⁻ᵏ.
El término pᵏ(1−p)ⁿ⁻ᵏ asigna probabilidad a cada secuencia; multiplicarlo por las combinaciones reúne todas las secuencias equivalentes.
Campos visibles: Ensayos n, probabilidad p y éxitos k. P(X=k)=C(n,k)pᵏ(1−p)ⁿ⁻ᵏ.
Ejemplo numérico: P(X=k) = 0.24609375
Ensayos n, probabilidad p y éxitos k: «10 0.5 5».
Con n=10, p=0.5 y k=5, la probabilidad exacta es 252/1024=0.24609375 y la acumulada hasta 5 es 0.623046875.
Resultado completo: P(X=k) = 0.24609375; P(X≤k) = 0.623046875.
Las probabilidades acumuladas pueden obtenerse sumando términos exactos o mediante una recurrencia entre k consecutivos. Para evitar confusiones, «exacta» se refiere a X=k y «acumulada» a X≤k. Si se necesitara P(X≥k), habría que sumar desde k hasta n o usar 1−P(X≤k−1); restar directamente P(X≤k) excluiría también el caso k.
Lectura matemática de P(X, P(X≤k)
P(X≤k) incluye la probabilidad de k, además de 0 hasta k−1. No debe confundirse con una cola estricta.
La esperanza binomial es np y la varianza np(1−p). Con n=10 y p=0.5, la media es 5; que k coincida con ella no significa que su probabilidad sea 1, sino que es un recuento central entre muchos posibles.
Restricciones propias de distribución binomial
n y k son enteros, 0≤k≤n y 0≤p≤1. Si p cambia entre ensayos o hay dependencia, el modelo binomial deja de corresponder.
Si se extraen elementos sin reemplazo de una población pequeña, los ensayos dejan de ser independientes y p cambia. En ese escenario la hipergeométrica representa mejor el recuento.
Fuentes y referencias
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Preguntas frecuentes
¿Cuándo resulta insuficiente distribución binomial?
La cola acumulada incluye k.
¿Qué representan los controles «Ensayos n, probabilidad p y éxitos k»?
n ensayos son fijos e independientes. Cada valor ocupa la posición indicada por la fórmula P(X=k)=C(n,k)pᵏ(1−p)ⁿ⁻ᵏ.
¿Cómo se llega a P(X=k) = 0.24609375?
Con Ensayos n, probabilidad p y éxitos k: «10 0.5 5», se sustituyen las magnitudes en P(X=k)=C(n,k)pᵏ(1−p)ⁿ⁻ᵏ. El cálculo da P(X=k) = 0.24609375; P(X≤k) = 0.623046875.
¿Qué entradas quedan fuera del dominio de distribución binomial?
n ensayos son fijos e independientes. p es constante entre ensayos. La cola acumulada incluye k.
¿Qué expresa realmente p(X, P(X≤k)?
p es constante entre ensayos.
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