Factorial, Permutaciones y Combinaciones

¿Qué es el factorial y por que crece tan rápido?

Vamos a ver, el factorial de un número n (escrito n!) es simplemente multiplicar todos los enteros desde 1 hasta n. Piensa en esto como una cadena de multiplicaciones que se dispara: 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120. Parece manejable, pero el truco está en que cada número nuevo multiplica todo lo anterior. Mira: 10! = 3.628.800 (casi cuatro millones), y 20! ya tiene 19 digitos. Por convención matemática, 0! = 1 — y no es arbitrario: es necesario para que las fórmulas de combinatoria funcionen. Nuestra calculadora usa BigInt para darte resultados exactos incluso con números grandes, sin perder precisión por desbordamiento.

Permutaciones vs. combinaciones: el orden lo cambia todo

Aquí es donde muchos estudiantes se lian, así que vamos a dejarlo claro con un ejemplo. Tienes 5 personas y quieres elegir 3. La pregunta clave es: ¿importa el orden?

Permutaciones P(n, r) — el orden SI importa. Estas formando una fila, asignando puestos, creando contraseñas. La fórmula es P(n, r) = n! / (n - r)!. Con nuestro ejemplo: P(5, 3) = 5! / 2! = 120 / 2 = 60 formas distintas. Elegir a Ana-Luis-Marta es diferente de Luis-Marta-Ana.

Combinaciones C(n, r) — el orden NO importa. Estas formando un equipo, un comite, eligiendo cartas. La fórmula es C(n, r) = n! / (r! x (n - r)!). Con el mismo ejemplo: C(5, 3) = 5! / (3! x 2!) = 120 / 12 = 10 formas distintas. El grupo (Ana, Luis, Marta) es el mismo sin importar en que orden los nombres.

El truco está en recordar: las combinaciones siempre dan un número menor o igual que las permutaciones, porque al ignorar el orden, muchas configuraciones que eran "diferentes" en permutaciones colapsan en una sola.

Ejemplos resueltos paso a paso

Ejemplo 1 — Factorial: ¿Cuántas formas hay de ordenar 7 libros en una estanteria? La respuesta es 7! = 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 5.040. Cada posición reduce las opciones en uno.

Ejemplo 2 — Permutaciones: ¿De cuantas maneras puedes asignar presidente, vicepresidente y secretario entre 10 candidatos? P(10, 3) = 10! / 7! = 10 x 9 x 8 = 720. El orden importa porque cada cargo es distinto.

Ejemplo 3 — Combinaciones: ¿Cuántos equipos de 4 jugadores puedes formar con 12 disponibles? C(12, 4) = 12! / (4! x 8!) = 495. Aquí no importa quien se elige primero — el equipo es el mismo.

Ejemplo 4 — Lotería: ¿Cuántas combinaciones tiene el Euromillon (5 de 50)? C(50, 5) = 50! / (5! x 45!) = 2.118.760. Por eso es tan difícil acertar.

¿Dónde se usa la combinatoria en la vida real?

Probabilidad y estadística: calcular la probabilidad de que te toquen exactamente 3 de 6 números en una lotería requiere combinaciones. Criptografía: el espacio de claves posibles de una contraseña se calcula con permutaciones con repetición. Programación: algoritmos de backtracking, busqueda exhaustiva y generación de subconjuntos usan factoriales para estimar la complejidad. Investigación: el diseño de experimentos usa combinaciones para planificar grupos de prueba. Genética: las combinaciones posibles de alelos en la herencia mendeliana se calculan con C(n, r).

Preguntas frecuentes

¿Cuál es el factorial más grande que calcula esta herramienta?
La calculadora soporta hasta n = 170. Para valores mayores, el número de digitos crece tanto que el cálculo se vuelve impractico en un navegador. Para n <= 20 se usa aritmética estándar; para n > 20 se usa BigInt para mantener la precisión exacta sin redondeos.

¿Cuándo uso permutaciones y cuando combinaciones?
Piensa en esto como una pregunta sencilla: si cambias el orden de los elementos seleccionados y obtienes algo "diferente" (como una contraseña, una fila, un ranking), usa permutaciones. Si el orden no genera algo nuevo (como un equipo, un comite, una mano de cartas), usa combinaciones.

¿Por que 0! es igual a 1?
No es una convención caprichosa. Piensa en cuantas formas hay de ordenar cero objetos: exactamente una (no hacer nada). Además, si 0! no fuese 1, la fórmula C(n, 0) = n! / (0! x n!) no daría 1, y sabemos que hay exactamente una forma de elegir cero elementos de cualquier conjunto.

¿Qué pasa si r es mayor que n?
No puedes elegir más elementos de los que hay disponibles. P(n, r) y C(n, r) no están definidos cuando r > n. La calculadora te lo indica si introduces valores invalidos.

¿Esta herramienta sirve para estudiar oposiciones?
Absolutamente. Los examenes de oposiciones en España incluyen problemas de combinatoria con frecuencia. Usa la calculadora para verificar tus ejercicios y estudia los pasos intermedios para entender el método, no solo memorizar fórmulas.

Herramientas relacionadas: Combinatoria Completa, Binomio de Newton.