Calculadora de Combinatoria Completa

¿Qué es la combinatoria?

La combinatoria es la rama de las matemáticas que estudia cuántas formas distintas hay de agrupar, ordenar o seleccionar elementos de un conjunto. Es la base de la probabilidad, la estadística, la criptografía y la teoría de juegos. Las preguntas típicas son: ¿de cuántas formas se pueden ordenar 10 libros en una estantería?, ¿cuántas combinaciones de la lotería existen?, ¿cuántas contraseñas distintas de 8 caracteres se pueden formar? Nuestra calculadora de combinatoria resuelve los cinco casos clásicos: permutaciones, variaciones con y sin repetición, y combinaciones con y sin repetición. Usa BigInt para soportar números muy grandes sin perder precisión.

Los cinco casos de combinatoria

1. Permutaciones P(n) = n! — formas de ordenar n elementos distintos. Ejemplo: 5 personas en una fila = 5! = 120 formas.

2. Variaciones sin repetición V(n, r) = n! / (n-r)! — formas de elegir r de n elementos con orden y sin repetir. Ejemplo: elegir presidente y secretario entre 10 candidatos = V(10, 2) = 90.

3. Variaciones con repetición VR(n, r) = nʳ — formas de elegir r de n elementos con orden, permitiendo repetir. Ejemplo: contraseñas de 4 dígitos = VR(10, 4) = 10.000.

4. Combinaciones sin repetición C(n, r) = n! / (r!·(n-r)!) — formas de elegir r de n sin importar el orden. Ejemplo: 5 cartas de un mazo de 52 = C(52, 5) = 2.598.960.

5. Combinaciones con repetición CR(n, r) = (n+r-1)! / (r!·(n-1)!) — formas de elegir r elementos de n permitiendo repetir y sin importar orden. Ejemplo: cuántos helados distintos puedes pedir con 3 bolas de 5 sabores = CR(5, 3) = 35.

¿Importa el orden? ¿Se puede repetir? El árbol de decisión

Para escoger el tipo correcto de combinatoria, hazte estas dos preguntas:

1. ¿Importa el orden? SÍ → variaciones o permutaciones. NO → combinaciones.

2. ¿Se puede repetir elementos? SÍ → con repetición. NO → sin repetición.

Caso especial: si tomas todos los elementos (r = n) y el orden importa sin repetición, son permutaciones: n! ordenaciones posibles.

Ejemplos prácticos resueltos

Lotería (Euromillón): elegir 5 números de 50 sin orden = C(50, 5) = 2.118.760. Las combinaciones con bonus de 2 estrellas de 12 multiplican: 2.118.760 × C(12, 2) = 139.838.160 posibilidades.

Contraseña de 8 caracteres alfanuméricos: 62 símbolos (26 mayúsculas + 26 minúsculas + 10 dígitos), 8 posiciones, se permite repetir y el orden importa → VR(62, 8) = 218.340.105.584.896 contraseñas. Más de 218 billones.

Equipo de fútbol: elegir 11 jugadores de una plantilla de 23 sin importar orden ni posiciones = C(23, 11) = 1.352.078 alineaciones.

Aniversarios: en un grupo de 23 personas, la probabilidad de que dos compartan cumpleaños es ~50%. Se calcula con combinatoria sobre 365 días.

Aplicaciones de la combinatoria

Probabilidad: el cálculo de probabilidades discretas casi siempre involucra combinatoria (juegos de azar, muestreo, urnas).

Criptografía: el tamaño del espacio de claves de un algoritmo se calcula con combinatoria. RSA-2048 tiene ~10^617 claves posibles.

Algorítmica: la complejidad de algoritmos de búsqueda exhaustiva (n!) es combinatoria. Por eso problemas como el viajante (TSP) son inabordables a gran escala.

Diseño experimental: en estadística, la combinatoria define cuántos grupos de prueba se pueden formar con n sujetos.

Genética: el número de combinaciones posibles de alelos en herencia mendeliana se calcula con C(n, r).

Preguntas frecuentes

¿Cuál es la diferencia entre variaciones y combinaciones?
En las variaciones, el orden importa: cambiar el orden da una variación distinta. En las combinaciones, el orden no importa: solo cuenta qué elementos se eligen. P(5, 3) = 60 variaciones; C(5, 3) = 10 combinaciones.

¿Por qué 0! = 1?
Por convención y por consistencia. Hay exactamente una forma de ordenar el conjunto vacío: no hacer nada. Esta convención hace que las fórmulas de combinatoria (como C(n, 0) = 1) funcionen sin casos especiales.

¿Cuál es el factorial más grande que calcula la herramienta?
Hasta n = 170. Para valores mayores, el número de dígitos crece tanto que el cálculo se vuelve impractico en un navegador. Usamos BigInt para mantener precisión exacta hasta n = 170.

¿Sirve para preparar selectividad y EBAU?
Sí. La combinatoria es contenido obligatorio en matemáticas de bachillerato. La calculadora te permite verificar problemas y entender qué fórmula aplicar según las condiciones del enunciado (orden, repetición).

¿Mis datos se almacenan?
No. Los cálculos se ejecutan localmente en tu navegador. Ningún valor se transmite a servidores externos.

Herramientas relacionadas: Factorial, Probabilidades.