Progresiones Aritméticas y Geométricas

¿Qué es una progresión y qué tipos existen?

Una progresión (o sucesión) es una secuencia ordenada de números donde cada término se obtiene del anterior siguiendo una regla. Los dos tipos clásicos son:

Progresión aritmética: cada término se obtiene sumando una diferencia constante d al anterior. Ejemplo: 3, 5, 7, 9, 11... (d = 2).

Progresión geométrica: cada término se obtiene multiplicando por una razón constante r. Ejemplo: 3, 6, 12, 24, 48... (r = 2).

Nuestra calculadora de progresiones online resuelve ambos tipos: dados el primer término a₁, la diferencia/razón y la posición n, calcula el término n-ésimo aₙ, la suma de los n primeros términos Sₙ y muestra los primeros términos para que veas el patrón.

Fórmulas de la progresión aritmética

Término n-ésimo: aₙ = a₁ + (n − 1)·d.

Suma de los n primeros términos: Sₙ = n·(a₁ + aₙ)/2. Es la fórmula de Gauss: media del primero y último, multiplicada por el número de términos.

Ejemplo: a₁=3, d=2, n=10. a₁₀ = 3 + 9·2 = 21. S₁₀ = 10·(3+21)/2 = 120.

Fórmulas de la progresión geométrica

Término n-ésimo: aₙ = a₁·rⁿ⁻¹.

Suma de los n primeros términos: Sₙ = a₁·(rⁿ − 1)/(r − 1) si r ≠ 1, o Sₙ = n·a₁ si r = 1.

Ejemplo: a₁=3, r=2, n=10. a₁₀ = 3·2⁹ = 1536. S₁₀ = 3·(1024−1)/(2−1) = 3069.

Suma de una progresión geométrica infinita

Si |r| < 1, la suma de infinitos términos converge a S∞ = a₁ / (1 − r). Por ejemplo, 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... = 1/(1−1/2) = 2. Es la base del concepto de límite y aparece en cálculo (series geométricas) y en el famoso problema de las paradojas de Zenón.

Aplicaciones reales de las progresiones

Finanzas (interés simple): el saldo acumulado con interés simple es una progresión aritmética. Cada año suma una cantidad fija (capital × tasa).

Finanzas (interés compuesto): el saldo con interés compuesto es una progresión geométrica. Cada año multiplica por (1 + r), creciendo exponencialmente.

Economía: la depreciación lineal de un activo es una progresión aritmética decreciente. La depreciación porcentual fija (declining balance) es geométrica.

Biología: el crecimiento bacteriano sin limitación de recursos es geométrico (duplicación cada ciclo).

Computación: los tamaños de memoria (1KB, 2KB, 4KB, 8KB...) y las complejidades algorítmicas suelen ser geométricas.

Música: los intervalos de la escala temperada son una progresión geométrica con razón 2^(1/12). Cada semitono multiplica la frecuencia por ese factor.

Ejemplos resueltos paso a paso

Ejemplo 1 — aritmética: primer término 5, diferencia 3, término 20. a₂₀ = 5 + 19·3 = 62. S₂₀ = 20·(5+62)/2 = 670.

Ejemplo 2 — geométrica: primer término 100, razón 1,05 (interés compuesto 5%), término 10. a₁₀ = 100·1,05⁹ = 155,13.

Ejemplo 3 — geométrica infinita: a₁=1, r=1/3. S∞ = 1/(1−1/3) = 3/2 = 1,5.

Ejemplo 4 — interés compuesto: 1.000 € al 7% anual durante 30 años: a₃₁ = 1.000·1,07³⁰ = 7.612 €. El dinero se ha multiplicado casi por 8 sin aportaciones adicionales.

Identificar el tipo de progresión

Si tienes una secuencia y quieres saber qué tipo es:

Aritmética: la diferencia entre términos consecutivos es constante. 2, 5, 8, 11 → cada paso suma 3.

Geométrica: el cociente entre términos consecutivos es constante. 2, 6, 18, 54 → cada paso multiplica por 3.

Ninguna de las dos: si ni la diferencia ni el cociente son constantes, la sucesión puede ser polinómica, exponencial, Fibonacci, etc.

Preguntas frecuentes

¿Qué diferencia hay entre sucesión y progresión?
Toda progresión es una sucesión, pero no toda sucesión es una progresión. Las progresiones tienen una regla simple (suma constante o producto constante). Otras sucesiones (Fibonacci, polinómicas) tienen reglas más complejas y no son progresiones aritméticas ni geométricas.

¿Por qué la fórmula de la suma de Gauss funciona?
Gauss observó que si emparejas el primero con el último, el segundo con el penúltimo, etc., todas las parejas suman lo mismo (a₁ + aₙ). Hay n/2 parejas, así que Sₙ = n/2 · (a₁ + aₙ). Funciona incluso si n es impar (el término central queda solo pero la fórmula se mantiene).

¿Cuándo converge una progresión geométrica infinita?
Cuando |r| < 1. Si r ≥ 1, la suma crece sin límite (diverge). Si r ≤ −1, oscila sin converger. Solo en el intervalo abierto (−1, 1) la suma infinita es finita.

¿Las progresiones aparecen en oposiciones?
Sí, constantemente. Los problemas de "calcular cuánto tendrás al cabo de N años con interés X" son progresiones geométricas. Los de "el primer día hago A flexiones y cada día sumo B más" son aritméticas. Es contenido obligatorio.

¿Mis datos se almacenan?
No. Todos los cálculos se ejecutan en tu navegador. Ningún valor introducido se transmite a servidores externos.

Herramientas relacionadas: Interés Compuesto, Binomio de Newton.