Calculadora de Números Complejos

¿Qué es un número complejo?

Un número complejo es una extensión de los números reales que se escribe en forma binómica como z = a + bi, donde a es la parte real, b es la parte imaginaria e i es la unidad imaginaria definida por i² = −1. Los complejos resuelven ecuaciones que no tienen solución en los reales, como x² = −1, cuya solución es x = ±i. Aparecen en electrónica (impedancias en circuitos AC), física cuántica, procesamiento de señales y geometría plana. Nuestra calculadora de números complejos opera con dos complejos z₁ = a + bi y z₂ = c + di calculando todas las operaciones básicas (suma, resta, multiplicación y división), así como el módulo |z| y el argumento arg(z) de cada uno.

Operaciones con números complejos

Suma y resta: componente a componente. (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i.

Multiplicación: aplicando la propiedad distributiva y i² = −1: (a + bi)·(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i.

División: se multiplica numerador y denominador por el conjugado del denominador (a − bi) para eliminar la parte imaginaria del denominador: (a + bi)/(c + di) = [(a + bi)(c − di)] / (c² + d²).

Módulo: |z| = √(a² + b²). Es la "longitud" del vector que representa el complejo en el plano.

Argumento: arg(z) = atan2(b, a). Es el ángulo que forma el vector con el eje real positivo, medido en sentido antihorario.

Representación geométrica: el plano complejo

Cada complejo z = a + bi se representa como un punto (a, b) en un plano cartesiano llamado plano complejo o diagrama de Argand. El eje horizontal es el eje real; el vertical es el eje imaginario. La operación de suma corresponde a la suma vectorial; la multiplicación equivale a una rotación + escalado. Esta visualización es clave para entender propiedades como el módulo (distancia al origen) y el argumento (ángulo).

Forma polar y fórmula de Euler

Además de la forma binómica, los complejos se pueden expresar en forma polar: z = r·(cos θ + i sin θ), donde r = |z| y θ = arg(z). La fórmula de Euler compacta esto como e^(iθ) = cos θ + i sin θ, de modo que z = r·e^(iθ). Esta notación es extremadamente útil para multiplicaciones (los módulos se multiplican, los argumentos se suman) y para potencias y raíces (teorema de De Moivre).

Aplicaciones de los números complejos

Electrónica AC: las impedancias de resistencias, condensadores e inductores se representan como complejos. La ley de Ohm se aplica directamente: V = I·Z, donde V, I y Z son complejos.

Procesamiento de señales: la transformada de Fourier descompone señales en sumas de senos y cosenos representados como exponenciales complejas. Es la base del audio digital, MP3, JPEG.

Mecánica cuántica: la función de onda Ψ es una función con valores complejos. Su módulo al cuadrado da la probabilidad de encontrar la partícula.

Aerodinámica: el potencial complejo permite resolver flujos potenciales 2D mediante mapeos conformes.

Fractales: el conjunto de Mandelbrot y los conjuntos de Julia se definen mediante iteraciones de números complejos.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 — suma: (3 + 4i) + (1 − 2i) = 4 + 2i.

Ejemplo 2 — multiplicación: (3 + 4i)·(1 − 2i) = 3 − 6i + 4i − 8i² = 3 − 2i + 8 = 11 − 2i.

Ejemplo 3 — módulo: |3 + 4i| = √(9 + 16) = √25 = 5.

Ejemplo 4 — división: (1 + i)/(1 − i) = (1+i)(1+i) / ((1−i)(1+i)) = (1 + 2i + i²) / (1 − i²) = 2i / 2 = i.

Preguntas frecuentes

¿Qué es la unidad imaginaria i?
Es el número definido por i² = −1. Permite extender los reales para que toda ecuación polinómica tenga solución (teorema fundamental del álgebra). Los complejos son cerrados bajo todas las operaciones algebraicas.

¿Qué es el conjugado de un complejo?
Si z = a + bi, su conjugado es z̄ = a − bi. Tiene propiedades muy útiles: |z|² = z · z̄, y se usa para racionalizar denominadores complejos (dividir).

¿Para qué se usan los complejos en ingeniería?
En análisis de circuitos AC (impedancias), control de sistemas (función de transferencia), procesamiento digital de señales (FFT), telecomunicaciones (modulación QAM), entre muchas otras. Sin complejos, gran parte de la ingeniería moderna sería impracticable.

¿La calculadora soporta forma polar?
Calcula el módulo y el argumento, que son los dos parámetros de la forma polar. Para hacer operaciones directamente en polar (cómodo para potencias y raíces), conviene convertir manualmente.

¿Mis datos se almacenan?
No. Todos los cálculos se ejecutan en tu navegador con JavaScript. Ningún valor introducido se transmite a servidores externos.

Herramientas relacionadas: Vectores R²/R³, Función Cuadrática.