Calculadora de Integrales

¿Qué es una integral y cómo se calcula?

Una integral es la operación inversa a la derivada. Si F'(x) = f(x), entonces F(x) es una primitiva (o antiderivada) de f(x). La integral indefinida se escribe como ∫f(x) dx = F(x) + C, donde C es la constante de integración. La integral definida, en cambio, calcula el área neta bajo la curva entre dos límites a y b: ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a). Nuestra calculadora de integrales online resuelve los dos casos paso a paso, aplicando la regla de la potencia inversa, integrales inmediatas trigonométricas y exponenciales, y mostrando el procedimiento completo.

Reglas básicas de integración

Regla de la potencia (inversa): ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C, válida para n ≠ −1.

Caso especial 1/x: ∫ (1/x) dx = ln|x| + C. Es la única excepción a la regla de la potencia.

Regla del múltiplo constante: ∫ k·f(x) dx = k·∫ f(x) dx. Las constantes salen fuera de la integral.

Regla de la suma: ∫ (f + g) dx = ∫f dx + ∫g dx. Se integra término a término.

Integrales inmediatas: ∫ sin x dx = -cos x + C, ∫ cos x dx = sin x + C, ∫ eˣ dx = eˣ + C.

Cómo se interpreta una integral definida

Si tienes una función positiva f(x) ≥ 0 en el intervalo [a, b], la integral definida ∫ₐᵇ f(x) dx representa el área entre la curva y el eje X. Cuando la función toma valores negativos, las áreas se restan: la integral devuelve el "área neta". El Teorema Fundamental del Cálculo garantiza que ese valor se obtiene sustituyendo los límites en cualquier primitiva: F(b) − F(a).

Ejemplo: ∫₀² 3x² dx. Primero, primitiva: F(x) = x³. Luego sustitución: F(2) − F(0) = 8 − 0 = 8. El área bajo la parábola y = 3x² entre 0 y 2 es 8 unidades cuadradas.

Ejemplos resueltos paso a paso

Ejemplo 1: ∫(3x² + 2x − 5) dx. Aplicamos regla de la potencia: ∫3x² dx = x³, ∫2x dx = x², ∫(-5) dx = -5x. Resultado: x³ + x² − 5x + C.

Ejemplo 2: ∫₁³ x² dx. Primitiva: x³/3. F(3) − F(1) = 27/3 − 1/3 = 26/3 ≈ 8,667.

Ejemplo 3: ∫(sin x + 2cos x) dx = -cos x + 2sin x + C.

Ejemplo 4: ∫(1/x) dx = ln|x| + C. Recuerda el valor absoluto porque ln solo está definido para x > 0.

¿Dónde se usan las integrales en la vida real?

Física: el trabajo realizado por una fuerza variable, la energía cinética acumulada, el desplazamiento a partir de la velocidad — todo son integrales.

Ingeniería: cálculo de centros de gravedad, momentos de inercia, caudales en hidráulica, capacidad de baterías eléctricas (∫ I dt).

Estadística y probabilidad: el área bajo una función de densidad da la probabilidad. La integral es la base de la distribución normal, exponencial y todas las continuas.

Economía: el excedente del consumidor y del productor en microeconomía son integrales sobre la curva de demanda y oferta.

Medicina: la farmacocinética calcula la concentración acumulada de un fármaco en sangre integrando la curva de absorción.

Preguntas frecuentes

¿Por qué hay una constante de integración C?
Porque la derivada de una constante es cero, infinitas funciones tienen la misma derivada. Al integrar perdemos esa información y la representamos con +C. Solo desaparece en las integrales definidas, donde se cancela al restar F(b) − F(a).

¿Soporta integración por partes o sustitución?
La herramienta resuelve integrales inmediatas (polinomios, trigonométricas básicas, exponenciales y logarítmicas). Para integración por partes, sustitución o fracciones simples, recomendamos resolver a mano y usar la calculadora para verificar cada paso intermedio.

¿La calculadora es fiable para exámenes?
Sí para verificar resultados. La mayoría de exámenes de bachillerato y universidad piden el procedimiento, no solo el resultado. Usa la herramienta para comprobar tu desarrollo paso a paso.

¿Qué diferencia hay entre integral definida e indefinida?
La indefinida devuelve una familia de funciones (F(x) + C). La definida devuelve un número concreto: el área neta entre la curva y el eje X en el intervalo dado.

¿La integral de 1/x es ln(x)?
Casi. La primitiva es ln|x|, con valor absoluto, porque el logaritmo solo está definido para argumentos positivos. En integrales definidas, asegúrate de que el intervalo no incluya el cero.

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