Función Cuadrática: Vértice, Raíces y Discriminante

¿Qué es una función cuadrática?

Una función cuadrática es una función polinómica de segundo grado, de la forma f(x) = ax² + bx + c, donde a ≠ 0. Su gráfica es una parábola simétrica respecto a una recta vertical llamada eje de simetría. La función cuadrática aparece en infinidad de situaciones: movimiento de proyectiles, diseño de antenas parabólicas, optimización de beneficios, trayectorias balísticas y modelos económicos. Nuestra calculadora de función cuadrática analiza completamente cualquier parábola: calcula su vértice, su discriminante, sus raíces (cuando existen), su orientación (abre hacia arriba o abajo) y su intersección con el eje Y.

Discriminante: cuántas raíces tiene la parábola

El discriminante Δ = b² − 4ac determina cuántas raíces reales tiene la parábola (es decir, cuántas veces corta al eje X):

Δ > 0: dos raíces reales distintas. La parábola corta al eje X en dos puntos.

Δ = 0: una raíz real doble. La parábola toca el eje X en un solo punto (el vértice).

Δ < 0: no hay raíces reales. La parábola no toca el eje X. Las raíces son complejas conjugadas.

El vértice de la parábola

El vértice es el punto más alto o más bajo de la parábola, donde la curva cambia de dirección. Su coordenada x es xᵥ = −b/(2a), y su coordenada y se obtiene sustituyendo en la función: yᵥ = f(xᵥ) = c − b²/(4a).

Si a > 0, la parábola abre hacia arriba y el vértice es un mínimo. Si a < 0, abre hacia abajo y el vértice es un máximo. Esto es fundamental en problemas de optimización: para encontrar el máximo beneficio o el mínimo coste, se busca el vértice de la función cuadrática que modela el problema.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: f(x) = x² − 5x + 6. a=1, b=−5, c=6. Δ = 25 − 24 = 1 (positivo, dos raíces). xᵥ = 5/2 = 2,5; yᵥ = 6 − 25/4 = −0,25. Raíces: x = (5 ± 1)/2 → x₁ = 3, x₂ = 2. La parábola abre hacia arriba.

Ejemplo 2: f(x) = −x² + 4x − 4. a=−1, b=4, c=−4. Δ = 16 − 16 = 0 (raíz doble). xᵥ = 4/2 = 2; yᵥ = 0. Raíz doble en x = 2. La parábola abre hacia abajo y toca el eje X solo en el vértice.

Ejemplo 3: f(x) = 2x² + 3x + 5. Δ = 9 − 40 = −31 (negativo). No hay raíces reales. La parábola está completamente por encima del eje X (porque a > 0 y no corta).

Aplicaciones prácticas de la función cuadrática

Física: la altura de un proyectil en función del tiempo es y = h₀ + v₀·t − ½g·t². Una parábola perfecta. El vértice indica la altura máxima.

Economía: el beneficio en función del precio suele ser cuadrático (más precio = menos ventas, menos precio = menos margen). El vértice indica el precio óptimo.

Arquitectura: los puentes colgantes y las antenas parabólicas tienen perfiles parabólicos por sus propiedades de reflexión y distribución de cargas.

Diseño industrial: los faros de los coches usan reflectores parabólicos para dirigir la luz desde el foco hacia adelante en haz paralelo.

Computer vision: el ajuste de paraboloides a nubes de puntos permite detectar superficies curvas en escaneo 3D.

Relación con la ecuación de segundo grado

Resolver f(x) = 0 (encontrar las raíces) equivale a resolver la ecuación cuadrática ax² + bx + c = 0. La fórmula general es x = (−b ± √Δ) / (2a). Esta herramienta es complementaria a nuestra calculadora de ecuaciones de segundo grado: aquí analizas la función completa (vértice, orientación, simetría); allí te enfocas solo en las raíces.

Preguntas frecuentes

¿Por qué a no puede ser cero?
Si a = 0, la función deja de ser cuadrática y se convierte en lineal (f(x) = bx + c). La gráfica ya no es una parábola sino una recta, y no tiene vértice ni discriminante.

¿Qué interpretación tiene el discriminante negativo?
Que la parábola no corta al eje X. Esto significa que la ecuación ax² + bx + c = 0 no tiene solución en los reales, pero sí en los complejos: dos raíces complejas conjugadas. Aparecen en análisis de circuitos AC y mecánica cuántica.

¿Cómo se factoriza una función cuadrática?
Si tiene dos raíces reales x₁ y x₂: f(x) = a(x − x₁)(x − x₂). Si tiene raíz doble x₀: f(x) = a(x − x₀)². Si no tiene raíces reales, no es factorizable en los reales (sí en los complejos).

¿Para qué sirve el eje de simetría?
Es la recta vertical x = xᵥ respecto a la cual la parábola es simétrica. Cualquier punto a distancia d hacia la derecha tiene un equivalente a distancia d hacia la izquierda con la misma altura. Es útil para graficar parábolas con pocos puntos calculados.

¿Mis datos se almacenan?
No. Todo el cálculo se ejecuta en tu navegador con JavaScript. Ningún coeficiente introducido se transmite a servidores externos.

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