Binomio de Newton y Triángulo de Pascal
Expande (a + b)^n con todos los términos y coeficientes binomiales. Triángulo de Pascal incluido.
C(5,0)=1 · C(5,1)=5 · C(5,2)=10 · C(5,3)=10 · C(5,4)=5 · C(5,5)=1
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¿Qué es el binomio de Newton?
El binomio de Newton es la fórmula que permite expandir (a + b)ⁿ en una suma de términos sin tener que multiplicar el binomio por sí mismo n veces. La fórmula completa es:
(a + b)ⁿ = Σ C(n, k) · aⁿ⁻ᵏ · bᵏ, para k = 0, 1, ..., n.
Los coeficientes C(n, k) son los coeficientes binomiales (combinaciones sin repetición de n elementos tomados de k en k). Aparecen también en el triángulo de Pascal, donde cada fila n contiene exactamente los coeficientes de (a + b)ⁿ. Nuestra calculadora del binomio de Newton calcula la expansión completa hasta n = 30, muestra todos los coeficientes y dibuja el triángulo de Pascal hasta esa fila.
Cómo funciona la fórmula del binomio
Para (a + b)ⁿ, el término número k (empezando en k = 0) es:
tₖ₊₁ = C(n, k) · aⁿ⁻ᵏ · bᵏ
El exponente de a empieza en n y va bajando hasta 0; el de b empieza en 0 y sube hasta n. Los coeficientes son simétricos: C(n, k) = C(n, n−k).
Ejemplo (a + b)⁴: coeficientes 1, 4, 6, 4, 1. Expansión: a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴.
El triángulo de Pascal
El triángulo de Pascal es una disposición triangular de números donde cada elemento es la suma de los dos que tiene encima. Sus filas (numeradas desde 0) contienen exactamente los coeficientes binomiales C(n, k):
Fila 0: 1
Fila 1: 1, 1
Fila 2: 1, 2, 1
Fila 3: 1, 3, 3, 1
Fila 4: 1, 4, 6, 4, 1
Fila 5: 1, 5, 10, 10, 5, 1
Es una herramienta visual extremadamente útil para recordar coeficientes sin tener que calcular factoriales.
Ejemplos resueltos
(a + b)² = a² + 2ab + b². Coeficientes 1, 2, 1.
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³. Coeficientes 1, 3, 3, 1.
(2x − 3)⁴: sustituye a = 2x, b = −3 y aplica el binomio. Resultado: 16x⁴ − 96x³ + 216x² − 216x + 81.
(1 + x)⁵: sustituye a = 1. Resultado: 1 + 5x + 10x² + 10x³ + 5x⁴ + x⁵. Es la versión más usada en cálculo (serie de Maclaurin de (1+x)ⁿ).
Aplicaciones del binomio de Newton
Estadística (distribución binomial): la probabilidad de obtener exactamente k éxitos en n ensayos independientes con probabilidad p de éxito es C(n, k)·pᵏ·(1−p)ⁿ⁻ᵏ — es un término del binomio.
Cálculo (serie de Taylor): (1 + x)ⁿ = 1 + nx + n(n−1)/2 · x² + ... es la serie binomial, válida también para exponentes no enteros.
Probabilidad: calcular probabilidades de eventos compuestos (lanzar dados, tirar monedas) usa coeficientes binomiales.
Combinatoria: C(n, k) cuenta las maneras de elegir k objetos de n. Es la operación fundamental de la combinatoria.
Polinomios: en álgebra simbólica, expandir potencias de binomios es paso obligado para resolver muchas ecuaciones.
Propiedades curiosas del triángulo de Pascal
1. Suma de cada fila: la suma de los elementos de la fila n es 2ⁿ. Por ejemplo, fila 4: 1+4+6+4+1 = 16 = 2⁴.
2. Diagonales: la primera diagonal son unos; la segunda son los enteros 1, 2, 3, 4...; la tercera son los números triangulares 1, 3, 6, 10...
3. Números primos: en cualquier fila p (p primo), todos los coeficientes intermedios son divisibles por p.
4. Patrón de Sierpiński: coloreando los elementos impares del triángulo, emerge un fractal triangular.
5. Fibonacci: sumar las diagonales "hacia arriba" del triángulo da los números de Fibonacci.
Preguntas frecuentes
¿Cuál es la diferencia entre el binomio de Newton y el cuadrado de un binomio?
El cuadrado del binomio (a+b)² = a² + 2ab + b² es un caso particular (n = 2). El binomio de Newton generaliza la fórmula a cualquier exponente entero positivo n. Para n no entero existe la serie binomial generalizada.
¿Quién descubrió el triángulo de Pascal?
Aunque lleva el nombre de Blaise Pascal (siglo XVII), era conocido desde mucho antes en China (Yang Hui, siglo XIII), Persia (Al-Karaji, siglo XI) e India (Pingala, siglo II a.C.). Pascal lo popularizó en Europa y derivó muchas de sus propiedades modernas.
¿Cómo se calcula C(n, k) manualmente?
Con la fórmula C(n, k) = n! / (k!·(n−k)!). Alternativamente, puedes leerlo del triángulo de Pascal: es el elemento en la fila n, posición k (contando desde 0).
¿La fórmula funciona con exponentes negativos o fraccionarios?
Sí, pero como serie infinita. (1+x)^(-1) = 1 − x + x² − x³ + ..., válido para |x| < 1. La serie binomial generalizada se demuestra con cálculo y aparece en física teórica.
¿Mis datos se almacenan?
No. Todo el cálculo se ejecuta en tu navegador con BigInt para garantizar precisión exacta hasta n = 30. Ningún valor introducido se transmite a servidores externos.
Herramientas relacionadas: Combinatoria Completa, Factorial.
Revisado por Javier Andreo