Calculadora de Vectores R² y R³

¿Qué es un vector y para qué se usa?

Un vector es una magnitud orientada: tiene módulo (longitud), dirección y sentido. Mientras que un escalar es solo un número (temperatura, masa), un vector representa fenómenos con dirección: velocidad, fuerza, desplazamiento. Nuestra calculadora de vectores online opera con vectores en R² (plano) y R³ (espacio), calculando suma, resta, producto escalar, producto vectorial (solo R³), módulo de cada vector y ángulo entre ellos en grados. Es la herramienta perfecta para verificar ejercicios de bachillerato y primer curso universitario.

Operaciones fundamentales con vectores

Suma A + B: componente a componente. (1, 2, 3) + (4, −1, 2) = (5, 1, 5). Geométricamente equivale a la regla del paralelogramo o a colocar los vectores "punta con cola".

Resta A − B: también componente a componente. (5, 3) − (2, 1) = (3, 2). Representa el vector que va de B a A.

Producto escalar A · B: suma de productos de componentes: a₁·b₁ + a₂·b₂ + a₃·b₃. Devuelve un escalar (número). Es cero cuando los vectores son perpendiculares.

Producto vectorial A × B (solo R³): devuelve un vector perpendicular a A y a B, con módulo |A|·|B|·sin(θ). Las componentes son (a₂b₃ − a₃b₂, a₃b₁ − a₁b₃, a₁b₂ − a₂b₁).

Módulo |A|: longitud del vector. Para A = (a₁, a₂, a₃), |A| = √(a₁² + a₂² + a₃²).

Ángulo entre vectores: cos(θ) = (A · B) / (|A| · |B|).

Producto escalar vs producto vectorial

Es habitual confundirlos. Resumen:

Producto escalar (dot product): existe en cualquier dimensión, devuelve un número. Sirve para calcular el ángulo entre dos vectores y para proyectar uno sobre otro. Si A · B = 0, son perpendiculares.

Producto vectorial (cross product): solo existe en R³, devuelve un vector perpendicular a los dos. Su módulo es el área del paralelogramo formado por A y B. Si A × B = 0, son paralelos o antiparalelos.

Aplicaciones de los vectores

Física: fuerzas (Newton), velocidad y aceleración (cinemática), momento angular (rotación). Sin vectores no hay mecánica clásica.

Ingeniería: análisis estructural (las cargas se descomponen vectorialmente), navegación (suma de viento + velocidad propia), elementos finitos.

Computación gráfica: posiciones de vértices, normales para iluminación, dirección de cámaras. Cada frame de un videojuego ejecuta miles de operaciones vectoriales.

Machine learning: los datos se representan como vectores en espacios de alta dimensión. Similaridad coseno, embeddings de palabras, redes neuronales — todo es álgebra vectorial.

Geometría: rectas y planos se describen con vectores. Hallar la distancia de un punto a un plano usa producto escalar.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 — suma: A = (3, 4), B = (1, −2). A + B = (4, 2).

Ejemplo 2 — módulo: A = (3, 4). |A| = √(9 + 16) = √25 = 5.

Ejemplo 3 — producto escalar: A = (1, 2, 3), B = (4, −1, 2). A · B = 4 − 2 + 6 = 8.

Ejemplo 4 — ángulo: con los del ejemplo 3, |A| = √14, |B| = √21. cos(θ) = 8 / (√14·√21) = 8 / 17,15 = 0,4666. θ = arccos(0,4666) ≈ 62,2°.

Ejemplo 5 — producto vectorial: A = (1, 0, 0), B = (0, 1, 0). A × B = (0, 0, 1). Eje Z, perpendicular al plano XY.

Preguntas frecuentes

¿Por qué el producto vectorial solo existe en 3D?
Porque su definición original (un vector perpendicular a otros dos) solo tiene una respuesta única en R³. En R² no hay un "tercer eje" perpendicular al plano. Existe una generalización en n dimensiones (producto exterior) pero ya no es un vector simple.

¿Cuándo dos vectores son perpendiculares?
Cuando su producto escalar es cero: A · B = 0. Esto se traduce en que el ángulo entre ellos es 90°. Por ejemplo, (1, 0) y (0, 1) son perpendiculares: 1·0 + 0·1 = 0.

¿Y cuándo son paralelos?
Cuando uno es múltiplo del otro: B = k·A. Esto equivale a A × B = 0 (vector cero). El ángulo entre ellos es 0° o 180°.

¿Funciona la herramienta con vectores de más de 3 componentes?
No. La calculadora cubre R² y R³, los espacios habituales en exámenes de matemáticas y física. Para dimensiones mayores recomendamos librerías como NumPy en Python o operaciones manuales.

¿Cuál es la diferencia entre vector y matriz?
Un vector es una secuencia ordenada de números (matriz fila o columna). Las matrices son colecciones bidimensionales de números. Los vectores son matrices de 1×n o n×1. Casi todas las operaciones vectoriales se pueden expresar como productos matriciales.

Herramientas relacionadas: Trigonometría, Calculadora de Matrices.