Distribución hipergeométrica
Calcula éxitos al extraer sin reemplazo de una población finita.
Distribución hipergeométrica: magnitud y alcance
Calcula éxitos al extraer sin reemplazo de una población finita.
La hipergeométrica cuenta éxitos al extraer n elementos sin reemplazo desde N, donde K elementos de la población son éxitos.
Los límites posibles de k son max(0,n−(N−K)) y min(n,K). Introducir un recuento fuera de ese intervalo exigiría escoger más éxitos o fracasos de los que existen, por lo que su probabilidad es cero y la entrada se rechaza.
Fórmula P(X=k)=C(K,k)C(N−K,n−k)/C(N,n).
C(K,k) elige éxitos y C(N−K,n−k) elige fracasos; C(N,n) cuenta todas las muestras del mismo tamaño.
Campos visibles: Población N, éxitos K, muestra n y éxitos k. P(X=k)=C(K,k)C(N−K,n−k)/C(N,n).
Ejemplo numérico: P(X=k) = 0.2098397176.
Población N, éxitos K, muestra n y éxitos k: «50 10 5 2».
Con N=50, K=10, n=5 y k=2, el cociente combinatorio vale 0.2098397176.
Resultado completo: P(X=k) = 0.2098397176.
El orden de extracción no aparece en la fórmula porque las combinaciones cuentan muestras sin orden. C(10,2)C(40,3) incluye todas las secuencias que contienen esa composición. Dividir por C(50,5) convierte el recuento favorable en probabilidad. Cambiar n altera tanto numerador como denominador; no puede reutilizarse la probabilidad de una muestra de cinco para otra de seis.
Lectura matemática de P(X
Sin reemplazo, cada extracción cambia la composición restante; por eso no debe sustituirse por una binomial con p fija salvo como aproximación justificada.
En el ejemplo hay 10 éxitos y 40 no éxitos. Elegir exactamente dos obliga a escoger además tres no éxitos para completar la muestra de cinco; de ahí los dos coeficientes combinatorios del numerador.
Restricciones propias de distribución hipergeométrica
Los cuatro parámetros son enteros y deben respetar 0≤K≤N, 0≤n≤N y los límites simultáneos posibles para k.
La probabilidad marginal de éxito cambia tras cada extracción. Si sale un éxito primero, quedan 9 entre 49; esta dependencia negativa es la diferencia esencial frente a ensayos binomiales independientes.
Fuentes y referencias
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Preguntas frecuentes
¿Qué supuesto impide extender este resultado a otro caso?
Los límites de k dependen simultáneamente de éxitos y fracasos.
¿Qué representan los controles «Población N, éxitos K, muestra n y éxitos k»?
La extracción es sin reemplazo. Cada valor ocupa la posición indicada por la fórmula P(X=k)=C(K,k)C(N−K,n−k)/C(N,n).
¿Cómo se llega a P(X=k) = 0.2098397176.?
Con Población N, éxitos K, muestra n y éxitos k: «50 10 5 2», se sustituyen las magnitudes en P(X=k)=C(K,k)C(N−K,n−k)/C(N,n). El cálculo da P(X=k) = 0.2098397176.
¿Qué entradas quedan fuera del dominio de distribución hipergeométrica?
La extracción es sin reemplazo. N y K describen la población y sus éxitos. Los límites de k dependen simultáneamente de éxitos y fracasos.
¿Qué indica el resultado dentro de este modelo?
N y K describen la población y sus éxitos.
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