Interpolación polinómica
Estima un valor del polinomio interpolador con la forma de Lagrange a partir de varios puntos.
Interpolación polinómica: magnitud y alcance
Estima un valor mediante el polinomio interpolador de Lagrange construido con varios puntos.
Lagrange construye una base Lᵢ por punto: vale 1 en xᵢ y 0 en los demás nodos, de modo que ΣyᵢLᵢ reproduce todos los datos.
En el ejemplo, la base del punto x=1 vale L₁(1.5)=(1.5−0)(1.5−2)/[(1−0)(1−2)]=0.75. La base de x=2 vale 0.375 y la de x=0 vale −0.125; ponderar por 0,1,4 suma 2.25.
Fórmula P(x)=ΣyᵢLᵢ(x), con Lᵢ(x)=∏ⱼ≠ᵢ(x−xⱼ)/(xᵢ−xⱼ).
El polinomio resultante tiene grado como máximo número de puntos menos uno y es único cuando todas las abscisas son distintas.
Campos visibles: Puntos x,y separados por ; x que quieres estimar. P(x)=ΣyᵢLᵢ(x), con Lᵢ(x)=∏ⱼ≠ᵢ(x−xⱼ)/(xᵢ−xⱼ).
Ejemplo numérico: Interpolación de Lagrange = 2.25.
Puntos x,y separados por punto y coma (;): «0,0;1,1;2,4»; x que quieres estimar: «1.5».
Los puntos (0,0),(1,1),(2,4) reconstruyen x²; en 1.5 dan 2.25.
Resultado completo: Interpolación de Lagrange = 2.25.
La evaluación directa de las bases puede sufrir cancelación cuando los nodos están muy juntos. El resultado matemático sigue siendo único, pero su cálculo en coma flotante pierde precisión. Formas baricéntricas suelen mejorar la evaluación repetida; esta herramienta prioriza un conjunto pequeño de puntos y una explicación directa de Lagrange.
Lectura matemática de Interpolación de Lagrange
Interpolar no suaviza ruido: obliga a pasar exactamente por cada punto. Con muchos nodos puede aparecer oscilación e inestabilidad numérica.
Que una base sea negativa no invalida el método; las bases se compensan y siempre suman 1. Esa propiedad conserva funciones constantes.
Restricciones propias de interpolación polinómica
Dos puntos con el mismo x invalidan los denominadores xᵢ−xⱼ. Fuera del rango observado, la extrapolación polinómica puede crecer con rapidez.
Cambiar un solo y altera todo el polinomio, no únicamente un tramo. Para datos densos o ruidosos, splines o regresión pueden comportarse mejor que un único polinomio global.
Fuentes y referencias
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Preguntas frecuentes
¿Qué aspecto no cubre interpolación polinómica?
Muchos puntos pueden producir inestabilidad numérica.
¿Qué representan los controles «Puntos x,y separados por punto y coma (;); x que quieres estimar»?
Usa la forma de Lagrange sobre puntos con x distintos. Cada valor ocupa la posición indicada por la fórmula P(x)=ΣyᵢLᵢ(x), con Lᵢ(x)=∏ⱼ≠ᵢ(x−xⱼ)/(xᵢ−xⱼ).
¿Cómo se llega a Interpolación de Lagrange = 2.25.?
Con Puntos x,y separados por punto y coma (;): «0,0;1,1;2,4»; x que quieres estimar: «1.5», se sustituyen las magnitudes en P(x)=ΣyᵢLᵢ(x), con Lᵢ(x)=∏ⱼ≠ᵢ(x−xⱼ)/(xᵢ−xⱼ). El cálculo da Interpolación de Lagrange = 2.25.
¿Qué entradas quedan fuera del dominio de interpolación polinómica?
Usa la forma de Lagrange sobre puntos con x distintos. El polinomio pasa exactamente por los puntos si no hay redondeo. Muchos puntos pueden producir inestabilidad numérica.
¿Qué información aporta interpolación de Lagrange?
El polinomio pasa exactamente por los puntos si no hay redondeo.
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