Regresión lineal simple
Ajusta una recta de mínimos cuadrados y estima el valor de y.
Regresión lineal simple: magnitud y alcance
Ajusta una recta de mínimos cuadrados y estima el valor de y.
La pendiente b se obtiene dividiendo la covariación centrada por la variación de x; el intercepto a coloca la recta en la altura que minimiza los residuos cuadrados.
La ecuación estimada atraviesa el punto de medias (x̄,ȳ). Con x̄=2 y ȳ=11/3, sustituir en 2/3+1.5x recupera 11/3; esta identidad comprueba la coherencia entre intercepto, pendiente y datos.
Fórmula ŷ=a+bx.
Cada residuo es y observado menos ŷ. Los residuos positivos y negativos no se cancelan porque el criterio eleva cada diferencia al cuadrado.
Campos visibles: Pares x,y separados por ; x para la predicción. ŷ=a+bx.
Ejemplo numérico: Correlación r = 0.9819805061
Pares x,y separados por punto y coma (;): «1,2;2,4;3,5»; x para la predicción: «5».
Con b=1.5 y a=2/3, aumentar x una unidad eleva la predicción 1.5 unidades. Para x=5, ŷ=8.1666666667.
Resultado completo: Correlación r = 0.9819805061; Pendiente b = 1.5; Intercepto a = 0.6666666667; R² = 0.9642857143; Predicción en x=5 = 8.1666666667.
Lectura matemática de Correlación r, Pendiente b, Intercepto a, R², Predicción en x
La predicción es interpolación solo dentro del intervalo observado de x; fuera de 1 a 3, como en x=5, es extrapolación y exige más cautela.
R²=0.9642857143 indica que la recta reduce un 96.43 % la suma de errores cuadrados frente a predecir siempre ȳ en estos tres puntos. No mide el porcentaje de cada y causado por x ni garantiza el mismo rendimiento con observaciones nuevas.
Restricciones propias de regresión lineal simple
Si todos los x fueran iguales, la pendiente no estaría definida. Una recta tampoco representa bien una curvatura sistemática aunque produzca un número.
La predicción x=5 queda dos unidades más allá del máximo observado x=3. El cálculo algebraico sigue siendo 8.1666666667, pero la evidencia disponible no muestra si la pendiente continúa constante en ese tramo. Debe etiquetarse como extrapolación.
Fuentes y referencias
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Preguntas frecuentes
¿Qué advertencia debe acompañar a correlación r, Pendiente b, Intercepto a, R², Predicción en x?
La extrapolación fuera del rango observado no se valida aquí.
¿Qué representan los controles «Pares x,y separados por punto y coma (;); x para la predicción»?
La pendiente expresa el cambio esperado de y por unidad de x. Cada valor ocupa la posición indicada por la fórmula ŷ=a+bx.
¿Cómo se llega a Correlación r = 0.9819805061?
Con Pares x,y separados por punto y coma (;): «1,2;2,4;3,5»; x para la predicción: «5», se sustituyen las magnitudes en ŷ=a+bx. El cálculo da Correlación r = 0.9819805061; Pendiente b = 1.5; Intercepto a = 0.6666666667; R² = 0.9642857143; Predicción en x=5 = 8.1666666667.
¿Qué entradas quedan fuera del dominio de regresión lineal simple?
La pendiente expresa el cambio esperado de y por unidad de x. El intercepto solo tiene interpretación si x=0 pertenece al contexto. La extrapolación fuera del rango observado no se valida aquí.
¿Cómo debe leerse la salida de regresión lineal simple?
El intercepto solo tiene interpretación si x=0 pertenece al contexto.
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