Teorema chino del resto
Resuelve un sistema de congruencias con módulos enteros coprimos y devuelve la solución mínima.
Teorema chino del resto: magnitud y alcance
Resuelve sistemas de congruencias con módulos coprimos.
El teorema combina pares resto,módulo en una sola clase que satisface todas las congruencias.
Para los módulos 3 y 5, un enfoque constructivo usa inversos: x=2·5·(5⁻¹ mod3)+3·3·(3⁻¹ mod5). Reducir esa suma módulo 15 produce 8.
Fórmula x≡aᵢ (mod mᵢ).
Con módulos coprimos, la solución es única módulo el producto; con módulos no coprimos se necesita compatibilidad de restos.
Campos visibles: Pares resto,módulo separados por punto y coma (;). x≡aᵢ (mod mᵢ).
Ejemplo numérico: Solución mínima = 8
Pares resto,módulo separados por punto y coma (;): «2,3;3,5».
x=8 cumple 8≡2 mod 3 y 8≡3 mod 5; la clase se repite cada 15.
Resultado completo: Solución mínima = 8; Módulo común = 15.
Verificar una respuesta consiste en reducirla por cada módulo original, no solo por el producto. Para 8, 8−2=6 es divisible por 3 y 8−3=5 por 5. Una cifra que cumpla solo una congruencia no es aproximación parcial: queda fuera del sistema. Todos los pares deben satisfacerse simultáneamente.
Lectura matemática de Solución mínima, Módulo común
La salida mínima no negativa es solo un representante. Sumar o restar múltiplos del módulo común conserva todas las congruencias.
Si dos módulos comparten factor g, sus restos deben coincidir módulo g. Por ejemplo, x≡0 mod2 y x≡1 mod4 son incompatibles porque los restos difieren módulo2.
Restricciones propias de teorema chino del resto
Los módulos deben ser enteros positivos y cada resto se reduce a su clase antes de combinarlo.
El módulo común puede crecer rápidamente al combinar muchos pares. La aritmética entera exacta evita perder residuos por redondeo decimal.
Fuentes y referencias
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Preguntas frecuentes
¿Qué aspecto no cubre teorema chino del resto?
Módulos incompatibles pueden no producir una solución común.
¿Qué representan los controles «Pares resto,módulo separados por punto y coma (;)»?
Los pares son resto y módulo. Cada valor ocupa la posición indicada por la fórmula x≡aᵢ (mod mᵢ).
¿Cómo se llega a Solución mínima = 8?
Con Pares resto,módulo separados por punto y coma (;): «2,3;3,5», se sustituyen las magnitudes en x≡aᵢ (mod mᵢ). El cálculo da Solución mínima = 8; Módulo común = 15.
¿Qué entradas quedan fuera del dominio de teorema chino del resto?
Los pares son resto y módulo. La rutina devuelve un representante mínimo no negativo. Módulos incompatibles pueden no producir una solución común.
¿Qué información aporta solución mínima, Módulo común?
La rutina devuelve un representante mínimo no negativo.
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