Teoría de colas M/M/1
Calcula utilización, longitud media y esperas de una cola M/M/1 estable.
Teoría de colas M/M/1: magnitud y alcance
Calcula indicadores estacionarios de una cola con una sola línea y un servidor M/M/1.
El modelo M/M/1 supone llegadas Poisson, servicios exponenciales, un solo servidor y régimen estable.
L incluye a quien está siendo atendido y Lq solo quienes esperan; por eso L−Lq=ρ. Del mismo modo, W−Wq=1/μ es el tiempo medio de servicio. En el ejemplo, 2−4/3=2/3 y 1−2/3=1/3.
Fórmula ρ=λ/μ; la estabilidad requiere que la tasa de llegada λ sea menor que la tasa de servicio μ.
ρ=λ/μ mide ocupación; cuando λ se acerca a μ, los denominadores μ−λ hacen crecer con rapidez las colas y esperas.
Campos visibles: Tasa de llegada λ y tasa de servicio μ. ρ=λ/μ; la estabilidad requiere que la tasa de llegada λ sea menor que la tasa de servicio μ.
Ejemplo numérico: Utilización ρ = 0.6666666667
Tasa de llegada λ y tasa de servicio μ: «2 3».
Con λ=2 y μ=3, ρ=2/3, L=2, Lq=4/3, W=1 y Wq=2/3.
Resultado completo: Utilización ρ = 0.6666666667; Longitud media L = 2; Longitud en espera Lq = 1.3333333333; Espera media W = 1; Espera en cola Wq = 0.6666666667.
Lectura matemática de Utilización ρ, Longitud media L, Longitud en espera Lq, Espera media W, Espera en cola Wq
Little relaciona L=λW y Lq=λWq; estas igualdades permiten comprobar que las cuatro salidas usan la misma unidad temporal.
Las unidades deben concordar. Si λ está en clientes por hora y μ en clientes por minuto, primero hay que convertir una tasa; comparar 2 y 3 sin unidad común produce una utilización falsa.
Restricciones propias de teoría de colas M/M/1
Se exige λ<μ. Con capacidad finita, varios servidores, prioridades o tasas no exponenciales, estas fórmulas dejan de describir el sistema.
La estabilidad λ<μ describe promedios a largo plazo. Incluso con ρ<1 pueden aparecer colas largas aleatorias; las fórmulas no prometen una espera máxima.
Fuentes y referencias
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Preguntas frecuentes
¿Qué límite de teoría de colas M/M/1 cambia la lectura del resultado?
El modelo supone llegadas Poisson, servicios exponenciales, disciplina FIFO y capacidad ilimitada.
¿Qué representan los controles «Tasa de llegada λ y tasa de servicio μ»?
Con λ=2 y μ=3, la utilización es 2/3, L=2 y la espera media W=1 unidad de tiempo. Cada valor ocupa la posición indicada por la fórmula ρ=λ/μ; la estabilidad requiere que la tasa de llegada λ sea menor que la tasa de servicio μ.
¿Cómo se llega a Utilización ρ = 0.6666666667?
Con Tasa de llegada λ y tasa de servicio μ: «2 3», se sustituyen las magnitudes en ρ=λ/μ; la estabilidad requiere que la tasa de llegada λ sea menor que la tasa de servicio μ. El cálculo da Utilización ρ = 0.6666666667; Longitud media L = 2; Longitud en espera Lq = 1.3333333333; Espera media W = 1; Espera en cola Wq = 0.6666666667.
¿Qué entradas quedan fuera del dominio de teoría de colas M/M/1?
λ y μ deben ser positivos. La cola se rechaza cuando λ≥μ. No representa varias estaciones ni prioridades.
¿Cómo se interpreta utilización ρ, Longitud media L, Longitud en espera Lq, Espera media W, Espera en cola Wq sin exceder su significado?
L y Lq son clientes medios en el sistema y en espera; W y Wq son tiempos medios.
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