Autovalores de una matriz 2×2
Calcula las raíces del polinomio característico de una matriz 2×2.
Autovalores de una matriz 2×2: magnitud y alcance
Calcula las raíces del polinomio característico de una matriz 2×2.
Para una matriz 2×2, los autovalores son las raíces del polinomio λ²−tr(A)λ+det(A).
El autovector asociado a 3 en el ejemplo sigue la dirección (1,1), porque la matriz la transforma en (3,3). Para λ=1, la dirección (1,−1) se conserva como (1,−1).
Fórmula λ²−tr(A)λ+det(A)=0.
Cada λ identifica una dirección no nula v para la que Av=λv; la matriz escala esa dirección sin girarla fuera de su recta.
Campos visibles: Matriz 2×2, cuatro valores por filas. λ²−tr(A)λ+det(A)=0.
Ejemplo numérico: λ₁ = 3
Matriz 2×2, cuatro valores por filas: «2 1 1 2».
En [[2,1],[1,2]], tr=4 y det=3, por lo que (λ−3)(λ−1)=0.
Resultado completo: λ₁ = 3; λ₂ = 1.
La ecuación característica puede evaluarse sustituyendo cada resultado: 3²−4·3+3=0 y 1²−4·1+3=0. Esta comprobación valida las raíces sin necesitar autovectores. Si ambos autovalores coinciden, la salida puede repetir la raíz o identificar multiplicidad; no debe inventar dos valores distintos para llenar dos posiciones.
Lectura matemática de λ₁, λ₂
Autovalores repetidos no garantizan dos autovectores independientes, y valores complejos pueden aparecer en matrices reales no simétricas.
La suma 3+1=4 comprueba la traza y el producto 3·1=3 comprueba el determinante. Estas identidades son controles útiles para una matriz 2×2.
Restricciones propias de autovalores de una matriz 2×2
Esta herramienta se limita a la forma matricial declarada; el orden de las cuatro entradas determina posiciones y cambia traza, determinante y raíces.
Si el discriminante tr²−4det es negativo, los autovalores son complejos. Una salida limitada a reales debe declarar ese dominio en vez de tomar una raíz inexistente.
Escalar toda la matriz por k escala también cada autovalor por k, mientras sumar k a la diagonal desplaza cada uno en k. Estas dos operaciones ofrecen comprobaciones simples cuando se comparan matrices relacionadas.
Fuentes y referencias
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Preguntas frecuentes
¿Qué aspecto no cubre autovalores de una matriz 2×2?
Un discriminante negativo produce autovalores complejos.
¿Qué representan los controles «Matriz 2×2, cuatro valores por filas»?
Se resuelve el polinomio característico de una matriz 2×2. Cada valor ocupa la posición indicada por la fórmula λ²−tr(A)λ+det(A)=0.
¿Cómo se llega a λ₁ = 3?
Con Matriz 2×2, cuatro valores por filas: «2 1 1 2», se sustituyen las magnitudes en λ²−tr(A)λ+det(A)=0. El cálculo da λ₁ = 3; λ₂ = 1.
¿Qué entradas quedan fuera del dominio de autovalores de una matriz 2×2?
Se resuelve el polinomio característico de una matriz 2×2. La traza es la suma de autovalores contando multiplicidad. Un discriminante negativo produce autovalores complejos.
¿Qué información aporta λ₁, λ₂?
La traza es la suma de autovalores contando multiplicidad.
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