Convergencia de serie geométrica
Comprueba si una serie geométrica infinita converge y calcula su suma.
Convergencia de serie geométrica: magnitud y alcance
Comprueba si una serie geométrica infinita converge y calcula su suma.
Una serie geométrica infinita suma a+ar+ar²+… y cada término se obtiene multiplicando el anterior por r.
Las sumas parciales del ejemplo son 4,5,5.25,5.3125… La diferencia hasta 16/3 se reduce en factor 0.25 en cada término, mostrando la convergencia sin depender solo de la fórmula cerrada.
Fórmula S=a/(1−r), |r|<1.
Cuando |r|<1, las potencias rⁿ tienden a cero y las sumas parciales se acercan a a/(1−r).
Campos visibles: Primer término a y razón r. S=a/(1−r), |r|<1.
Ejemplo numérico: Converge = Sí
Primer término a y razón r: «4 0.25».
Con a=4 y r=0.25, la suma es 4/0.75=5.3333333333.
Resultado completo: Converge = Sí; Suma = 5.3333333333.
La fórmula cerrada se deriva multiplicando S por r y restando: S−rS=a, luego S=a/(1−r), siempre que el resto infinito desaparezca. Precisamente |r|<1 garantiza esa desaparición. Sin esa condición, el paso algebraico manipula una suma que no existe y puede producir un número aparente sin significado.
Lectura matemática de Converge, Suma
Si r es negativo con |r|<1, las sumas parciales oscilan pero convergen; si |r|≥1, el término no desaparece y no hay suma finita.
Para r=−0.25, la suma sería 4/1.25=3.2 y las parciales alternarían alrededor de ella. El signo de r cambia el patrón, pero no la condición |r|<1.
Restricciones propias de convergencia de serie geométrica
La prueba solo cubre series geométricas. Otras series requieren criterios de convergencia diferentes.
Cuando r=1 se suma 4 indefinidamente y cuando r=−1 las parciales oscilan; ninguno converge aunque la expresión a/(1−r) sea algebraicamente evaluable para r=−1. La condición no puede omitirse.
Fuentes y referencias
Continúa con estas herramientas
Preguntas frecuentes
¿Qué límite de convergencia de serie geométrica cambia la lectura del resultado?
Con |r|≥1 no se presenta una suma finita.
¿Qué representan los controles «Primer término a y razón r»?
Una serie geométrica converge solo si |r|<1. Cada valor ocupa la posición indicada por la fórmula S=a/(1−r), |r|<1.
¿Cómo se llega a Converge = Sí?
Con Primer término a y razón r: «4 0.25», se sustituyen las magnitudes en S=a/(1−r), |r|<1. El cálculo da Converge = Sí; Suma = 5.3333333333.
¿Qué entradas quedan fuera del dominio de convergencia de serie geométrica?
Una serie geométrica converge solo si |r|<1. La suma infinita depende del primer término y de la razón. Con |r|≥1 no se presenta una suma finita.
¿Cómo se interpreta converge, Suma sin exceder su significado?
La suma infinita depende del primer término y de la razón.
Herramienta de OCC Tools