Distribución geométrica
Calcula el primer éxito en ensayos Bernoulli independientes.
Distribución geométrica: magnitud y alcance
Calcula el primer éxito en ensayos Bernoulli independientes.
La variable k cuenta el ensayo en que ocurre el primer éxito, por lo que empieza en 1. Antes hay k−1 fallos consecutivos.
P(X=1)=p porque no hay fallos previos. Cada incremento de k multiplica la probabilidad por 1−p; con p=0.25, la secuencia exacta decrece en factor 0.75.
Fórmula P(X=k)=(1−p)ᵏ⁻¹p.
La probabilidad (1−p)ᵏ⁻¹p multiplica esos fallos por el éxito final. La memoria sin historia depende de ensayos independientes con p constante.
Campos visibles: Probabilidad p y ensayo del primer éxito k. P(X=k)=(1−p)ᵏ⁻¹p.
Ejemplo numérico: P(X=k) = 0.140625
Probabilidad p y ensayo del primer éxito k: «0.25 3».
Con p=0.25 y k=3, 0.75²·0.25=0.140625; la espera media es 1/p=4.
Resultado completo: P(X=k) = 0.140625; E[X] = 4.
La probabilidad de tardar más de k ensayos es (1−p)ᵏ. Con p=0.25, superar tres intentos tiene probabilidad 0.75³=0.421875, una pregunta diferente de lograr el primer éxito exactamente en el tercero. Distinguir masa, cola y esperanza evita comparar directamente 0.140625 con 4, ya que una es probabilidad y la otra número medio de ensayos.
Lectura matemática de P(X, E[X]
La media 4 no afirma que el cuarto ensayo sea el más probable ni garantiza éxito antes de él; es un promedio de muchas repeticiones.
La propiedad sin memoria se expresa P(X>s+t|X>s)=P(X>t). Haber acumulado fallos no aumenta la probabilidad del siguiente éxito cuando los ensayos conservan p constante.
Restricciones propias de distribución geométrica
p debe estar entre 0 y 1 y k ser entero positivo. Si la probabilidad cambia tras cada intento, esta distribución no aplica.
Conviene distinguir «primer éxito en el ensayo k» de «número de fallos antes del éxito». La segunda convención empieza en cero y desplaza todos los índices; esta herramienta usa la primera.
Fuentes y referencias
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Preguntas frecuentes
¿Qué límite de distribución geométrica cambia la lectura del resultado?
La media teórica es 1/p.
¿Qué representan los controles «Probabilidad p y ensayo del primer éxito k»?
k cuenta el ensayo del primer éxito desde 1. Cada valor ocupa la posición indicada por la fórmula P(X=k)=(1−p)ᵏ⁻¹p.
¿Cómo se llega a P(X=k) = 0.140625?
Con Probabilidad p y ensayo del primer éxito k: «0.25 3», se sustituyen las magnitudes en P(X=k)=(1−p)ᵏ⁻¹p. El cálculo da P(X=k) = 0.140625; E[X] = 4.
¿Qué entradas quedan fuera del dominio de distribución geométrica?
k cuenta el ensayo del primer éxito desde 1. p debe estar entre 0 y 1. La media teórica es 1/p.
¿Cómo se interpreta p(X, E[X] sin exceder su significado?
p debe estar entre 0 y 1.
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