Polinomio de Taylor de exp
Calcula la aproximación de Taylor de eˣ alrededor de un punto.
Polinomio de Taylor de exp: magnitud y alcance
Calcula la aproximación de Taylor de eˣ alrededor de un punto.
Taylor aproxima eˣ alrededor de a usando derivadas en ese centro; para eˣ todas valen eᵃ.
El término siguiente del ejemplo sería 1/120≈0.008333, que explica gran parte de la diferencia 0.0099485 entre el polinomio de orden 4 y e. Añadirlo lleva a 2.716666…, todavía por debajo del valor exacto.
Fórmula Pₙ(x)=Σf⁽ⁱ⁾(a)(x−a)ⁱ/i!.
El orden n conserva términos desde grado 0 hasta n. Cerca de a, las potencias (x−a)ᶦ disminuyen y la aproximación mejora.
Campos visibles: x, centro y orden del polinomio. Pₙ(x)=Σf⁽ⁱ⁾(a)(x−a)ⁱ/i!.
Ejemplo numérico: Taylor = 2.7083333333
x, centro y orden del polinomio: «1 0 4».
Para x=1, a=0 y n=4, 1+1+1/2+1/6+1/24=2.7083333333 frente a e=2.7182818285.
Resultado completo: Taylor = 2.7083333333; Exacto = 2.7182818285.
El orden no es el número de términos cuando se empieza en cero: orden 4 contiene cinco términos, i=0,1,2,3,4. Confundirlo con cuatro términos omitiría 1/24 y daría 2.666666…, un resultado claramente distinto. El centro a=0 convierte esta expansión concreta en la serie de Maclaurin.
Lectura matemática de Taylor, Exacto
La diferencia mostrada procede de truncar términos, no de que la serie completa sea inexacta.
Al centrar en a distinto de cero aparece el factor eᵃ y se usan potencias de x−a. Elegir un centro cercano al x objetivo suele necesitar menos términos para una precisión dada.
Restricciones propias de polinomio de Taylor de exp
Alejar x del centro o bajar el orden suele aumentar el error; un orden alto también exige factoriales y más operaciones.
El valor «exacto» mostrado es una evaluación numérica de eˣ en coma flotante. Sirve para comparar error del truncamiento, no como demostración simbólica de igualdad.
Fuentes y referencias
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Preguntas frecuentes
¿Qué aspecto no cubre polinomio de Taylor de exp?
El error crece al alejar x del centro o reducir el orden.
¿Qué representan los controles «x, centro y orden del polinomio»?
Para e^x todas las derivadas coinciden con e^a. Cada valor ocupa la posición indicada por la fórmula Pₙ(x)=Σf⁽ⁱ⁾(a)(x−a)ⁱ/i!.
¿Cómo se llega a Taylor = 2.7083333333?
Con x, centro y orden del polinomio: «1 0 4», se sustituyen las magnitudes en Pₙ(x)=Σf⁽ⁱ⁾(a)(x−a)ⁱ/i!. El cálculo da Taylor = 2.7083333333; Exacto = 2.7182818285.
¿Qué entradas quedan fuera del dominio de polinomio de Taylor de exp?
Para e^x todas las derivadas coinciden con e^a. El orden n controla cuántos términos se conservan. El error crece al alejar x del centro o reducir el orden.
¿Qué información aporta taylor, Exacto?
El orden n controla cuántos términos se conservan.
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