Traza de una matriz
Suma los elementos de la diagonal principal de una matriz cuadrada.
Traza de una matriz: magnitud y alcance
Suma los elementos de la diagonal principal de una matriz cuadrada.
La traza suma únicamente la diagonal principal de una matriz cuadrada y no utiliza las entradas fuera de ella.
En una matriz triangular, los autovalores son las entradas diagonales, así que 1+4+6 también es la suma espectral. Los valores 2,3,5 fuera de la diagonal no alteran la traza aunque sí cambien otras propiedades.
Fórmula tr(A)=Σaᵢᵢ.
Es lineal, cumple tr(A+B)=tr(A)+tr(B), y permanece igual bajo cambios de base por semejanza.
Campos visibles: Matriz 3×3, nueve valores por filas. tr(A)=Σaᵢᵢ.
Ejemplo numérico: Traza = 11.
Matriz 3×3, nueve valores por filas: «1 2 3 0 4 5 0 0 6».
En la matriz triangular con diagonal 1,4,6, la suma es 11.
Resultado completo: Traza = 11.
Sumar la diagonal exige conocer la dimensión. La secuencia de nueve valores se interpreta como 3×3; con otra forma, las posiciones diagonales serían diferentes. Por eso una lista sin una cantidad cuadrada de elementos no puede tratarse silenciosamente como matriz cuadrada. La estructura es parte del dato, aunque el resultado final sea un solo número.
Lectura matemática de Traza
La traza también coincide con la suma de autovalores contando multiplicidades, aunque esta calculadora no necesita calcularlos.
La regla tr(AB)=tr(BA) vale cuando los productos están definidos y explica su invariancia bajo semejanza: tr(S⁻¹AS)=tr(A).
Restricciones propias de traza de una matriz
Una matriz no cuadrada no tiene traza en esta definición; reordenar elementos cambia qué valores quedan en la diagonal.
La traza no es la suma de todos los elementos ni el determinante. Confundir estas operaciones daría 21 o 24 en ejemplos distintos, no 11.
Multiplicar la matriz por un escalar k multiplica su traza por k. En cambio, intercambiar dos filas sin el cambio correspondiente de columnas puede alterar la diagonal; no es una transformación de semejanza y no conserva necesariamente el resultado.
Fuentes y referencias
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Preguntas frecuentes
¿Qué advertencia debe acompañar a traza?
La traza es invariante ante matrices semejantes.
¿Qué representan los controles «Matriz 3×3, nueve valores por filas»?
Solo suma la diagonal principal. Cada valor ocupa la posición indicada por la fórmula tr(A)=Σaᵢᵢ.
¿Cómo se llega a Traza = 11.?
Con Matriz 3×3, nueve valores por filas: «1 2 3 0 4 5 0 0 6», se sustituyen las magnitudes en tr(A)=Σaᵢᵢ. El cálculo da Traza = 11.
¿Qué entradas quedan fuera del dominio de traza de una matriz?
Solo suma la diagonal principal. La matriz debe ser cuadrada. La traza es invariante ante matrices semejantes.
¿Cómo debe leerse la salida de traza de una matriz?
La matriz debe ser cuadrada.
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