Números de Catalan
Calcula el número de Catalan Cₙ, usado en recuentos combinatorios recursivos.
Números de Catalan: magnitud y alcance
Calcula Cₙ, la sucesión que cuenta estructuras combinatorias como parentizaciones y árboles binarios en varios modelos.
Los números de Catalan cuentan configuraciones recursivas: árboles binarios, parentizaciones correctas o triangulaciones, siempre con una correspondencia combinatoria concreta.
La recurrencia Cₙ₊₁=2(2n+1)Cₙ/(n+2) ofrece otra comprobación. Desde C₄=14, C₅=2·9·14/6=42. Cada división es exacta aunque la expresión parezca racional.
Fórmula Cₙ=(2n)!/(n!(n+1)!) y C₀=1.
La forma Cₙ=(2n)!/[n!(n+1)!] equivale a C(2n,n)/(n+1), lo que garantiza un entero.
Campos visibles: Parámetros en el orden indicado. Cₙ=(2n)!/(n!(n+1)!) y C₀=1.
Ejemplo numérico: Cₙ = 42.
Parámetros en el orden indicado: «5».
Para n=5, 10!/(5!·6!)=42; el índice comienza con C₀=1.
Resultado completo: Cₙ = 42.
La aritmética exacta es especialmente útil aquí: calcular factoriales en coma flotante y dividir después puede redondear un entero grande. BigInt mantiene productos y cocientes enteros hasta C₂₈. La salida no usa notación científica, de modo que cada dígito forma parte del valor; para índices superiores sería necesario revisar tanto rendimiento como presentación.
Lectura matemática de Cₙ
El mismo valor puede contar objetos diferentes, pero no significa que todos los problemas de recuento con n elementos sean catalanes.
En parentizaciones, C₅ puede corresponder a estructuras con un índice definido por el problema; antes de usar 42 hay que confirmar si n cuenta pares, nodos internos, diagonales u otra magnitud. Un desplazamiento de índice cambia la respuesta.
Restricciones propias de números de Catalan
El motor usa BigInt internamente y admite n entero de 0 a 28; no introduce error decimal en ese intervalo.
Los valores crecen aproximadamente como 4ⁿ/(n^(3/2)√π). El límite 28 contiene tamaño de salida y coste; no implica que la sucesión termine allí.
Fuentes y referencias
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Preguntas frecuentes
¿Cuándo resulta insuficiente números de Catalan?
Un número de Catalan cuenta configuraciones bajo un modelo concreto; no es una probabilidad ni una factorización.
¿Qué representan los controles «Parámetros en el orden indicado»?
El resultado se obtiene con aritmética entera exacta y el motor limita n a 28. Cada valor ocupa la posición indicada por la fórmula Cₙ=(2n)!/(n!(n+1)!) y C₀=1.
¿Cómo se llega a Cₙ = 42.?
Con Parámetros en el orden indicado: «5», se sustituyen las magnitudes en Cₙ=(2n)!/(n!(n+1)!) y C₀=1. El cálculo da Cₙ = 42.
¿Qué entradas quedan fuera del dominio de números de Catalan?
n debe ser entero no negativo. n no puede superar 28 en esta implementación. La interpretación depende de la estructura combinatoria que se esté contando.
¿Qué expresa realmente cₙ?
El índice n empieza en cero, por lo que C₅=42 y no 5.
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